Questão 08 (UFPA)
A divisão
dá como resultado o número
a)
b)
c)
d)
A divisão
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o quociente
e escolher qual das alternativas dadas é igual a esse número complexo. As informações fornecidas são:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Alternativas:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Estratégia (explicação didática do procedimento): para dividir números complexos é conveniente “eliminar” a parte imaginária do denominador, fazendo com que o denominador vire um número real. Isso é feito multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um complexo
é
. Aqui o denominador é
, cujo conjugado é
. Então multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 3
Multiplicando o numerador passo a passo (vou expandir termo a termo e lembrar que
):
Agora cálculo cada termo:
Somando:
Portanto o numerador simplificado é
.
Passo 4
Multiplicando o denominador (usando que é produto de conjugados; isso sempre dá
se o denominador for
, explico abaixo):
Os termos
e
se cancelam, restando
Observação útil: se o denominador fosse
, multiplicando pelo conjugado
obtém-se
, que é real — por isso esse truque funciona.
Passo 5
Agora a fração ficou
Separando em parte real e imaginária divididas por
:
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, o resultado
corresponde à alternativa c).
Resposta
c)