Questão 08 (UFPA)
A divisão \frac{1+2 i}{1-i} dá como resultado o número
a) -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}
b) \frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}
c) -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}
d) \frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente \dfrac{1+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} e escolher qual das alternativas dadas é igual a esse número complexo. As informações fornecidas são:
  • Numerador: \,1+2\mathrm{i}\,.
  • Denominador: \,1-\mathrm{i}\,.
  • Alternativas:
    a) \,-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\,
    b) \,\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\,
    c) \,-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\,
    d) \,\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\,

Passo 2

Estratégia (explicação didática do procedimento): para dividir números complexos é conveniente “eliminar” a parte imaginária do denominador, fazendo com que o denominador vire um número real. Isso é feito multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um complexo \,a+b\mathrm{i}\, é \,a-b\mathrm{i}\,. Aqui o denominador é \,1-\mathrm{i}\,, cujo conjugado é \,1+\mathrm{i}\,. Então multiplicamos numerador e denominador por \,1+\mathrm{i}\,:
\frac{1+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} \cdot \frac{1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \frac{(1+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}.

Passo 3

Multiplicando o numerador passo a passo (vou expandir termo a termo e lembrar que \mathrm{i}^2=-1):
(1+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 1\cdot1 + 1\cdot\mathrm{i} + 2\mathrm{i}\cdot1 + 2\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}.
Agora cálculo cada termo:
1\cdot1 = 1,\quad 1\cdot\mathrm{i} = \mathrm{i},\quad 2\mathrm{i}\cdot1 = 2\mathrm{i},\quad 2\mathrm{i}\cdot\mathrm{i} = 2\mathrm{i}^2 = 2(-1) = -2.
Somando:
1 + \mathrm{i} + 2\mathrm{i} - 2 = (1-2) + (\mathrm{i}+2\mathrm{i}) = -1 + 3\mathrm{i}.
Portanto o numerador simplificado é -1+3\mathrm{i}.

Passo 4

Multiplicando o denominador (usando que é produto de conjugados; isso sempre dá a^2+b^2 se o denominador for a+b\mathrm{i}, explico abaixo):
(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 1\cdot1 + 1\cdot\mathrm{i} - \mathrm{i}\cdot1 - \mathrm{i}\cdot\mathrm{i}.
Os termos 1\cdot\mathrm{i} e -\mathrm{i}\cdot1 se cancelam, restando
1 - \mathrm{i}^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
Observação útil: se o denominador fosse a+b\mathrm{i}, multiplicando pelo conjugado a-b\mathrm{i} obtém-se a^2+b^2, que é real — por isso esse truque funciona.

Passo 5

Agora a fração ficou
\frac{-1+3\mathrm{i}}{2}.
Separando em parte real e imaginária divididas por 2:
-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\mathrm{i}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, o resultado -\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i} corresponde à alternativa c).

Resposta

c) -\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}

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