Questão 03 (UFPA)
Qual é o valor de m , real, para que o produto (2+m i)(3+i) seja um imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor real m tal que o produto (2 + m i)(3 + i) seja um número imaginário puro. Informações dadas:
  • Os fatores do produto são (2 + m i) e (3 + i).
  • m é um número real (ou seja, m \in \mathbb{R}).
  • Precisamos que o resultado do produto tenha parte real igual a zero (essa é a condição de ser imaginário puro).
Entendendo o que é “imaginário puro”: um número complexo qualquer pode ser escrito como (a + b i), onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Esse número é imaginário puro exatamente quando a parte real é zero, isto é, quando a = 0. Então, para tornar (2 + m i)(3 + i) imaginário puro devemos exigir que a parte real do produto seja zero.

Passo 2

Vamos calcular o produto passo a passo usando a propriedade distributiva (ou “FOIL” das duas binômios). Multiplicamos termo a termo:
(2 + m i)(3 + i) = 2\cdot 3 + 2\cdot i + m i\cdot 3 + m i\cdot i.
Escrevendo cada termo: 2\cdot 3 = 6, 2\cdot i = 2i, m i\cdot 3 = 3m i, e m i\cdot i = m i^{2}.
Usamos que i^{2} = -1. Assim m i^{2} = m(-1) = -m. Substituindo:
(2 + m i)(3 + i) = 6 + 2i + 3m i - m.
Agrupando a parte real e a parte imaginária:
(2 + m i)(3 + i) = (6 - m) + (2 + 3m)\,i.
Aqui (6 - m) é a parte real e (2 + 3m) é o coeficiente da parte imaginária.

Passo 3

Impondo a condição de imaginário puro: a parte real deve ser zero. Portanto resolvemos a equação
6 - m = 0.
Isolando m,
m = 6.
Verificação rápida (importante para evitar erro de conta): com m = 6 a parte imaginária fica (2 + 3\cdot 6) = 2 + 18 = 20, então o produto é 20i, que é de fato um imaginário puro. Tudo coerente.

Resposta

b) 6

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