Qual a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal?
p H=p K_{a}+\log \left(\frac{[H A]}{\left[A^{-}\right]}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal.
Informação fornecida pelo enunciado: a expressão sugerida foi pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).

Passo 2

Vamos começar pela definição de constante de dissociação ácida do ácido fraco HA. Para a reação de equilíbrio
HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-}
a constante de acidez é definida por
K_{a} = \dfrac{[H^{+}]\,[A^{-}]}{[HA]}.
Aqui:
  • [H^{+}] é a concentração de íons hidrogênio na solução;
  • [A^{-}] é a concentração da base conjugada (o sal);
  • [HA] é a concentração do ácido não dissociado;
  • K_{a} é uma constante que mede a força do ácido (quanto maior, mais forte).

Passo 3

A partir da definição de K_{a} isolamos [H^{+}]. Reescrevendo a equação:
[H^{+}] = K_{a}\,\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}.
Isto é apenas álgebra simples: multiplicou-se ambos os lados por [HA] e dividiu-se por [A^{-}].

Passo 4

Agora use as definições de pH e pK_{a}:
pH = -\log[H^{+}],\qquad pK_{a} = -\log K_{a}.
Aplicando logaritmo decimal na expressão de [H^{+}]:
\log[H^{+}] = \log K_{a} + \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).
Multiplicando por -1 para obter pH:
-\log[H^{+}] = -\log K_{a} - \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).
Substituindo pH e pK_{a}:
pH = pK_{a} - \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).
Usando a propriedade dos logaritmos -\log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right)=\log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right), chegamos à forma mais usada:

Passo 5

A fórmula final (famosa equação de Henderson–Hasselbalch) é
pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right).
Explicando cada termo de novo, de forma simples:
  • pH é o que queremos calcular;
  • pK_{a} é -\log K_{a} (conhecido para cada ácido);
  • [A^{-}] é a concentração do sal / base conjugada;
  • [HA] é a concentração do ácido fraco.

Passo 6

Comentário sobre a expressão que você mostrou: a expressão fornecida no enunciado, pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right), tem as concentrações no numerador e denominador invertidas em relação à forma correta. Isso muda o sinal do termo do logaritmo e, portanto, o pH calculado ficará com sinal trocado no desvio em relação a pK_{a}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para ver como usar na prova). Suponha que pK_{a}=4,76, [A^{-}]=0,10\\ \text{M} e [HA]=0,20\\ \text{M}. Então
\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}=\dfrac{0,10}{0,20}=0,5,
\log(0,5)\approx -0,301,
pH = 4,76 + (-0,301) = 4,459\\ (\text{aprox. }4,46).
Observe que se usássemos a forma invertida pK_{a}+\log([HA]/[A^{-}]) obteríamos 4,76+0,301=5,061, resultado diferente e incorreto.

Passo 8

Dicas práticas para a prova:
  • Use concentrações (ou atividades se pedirem precisão) das formas presentes na mistura após preparo do tampão. Normalmente, em exercícios de graduação, usa-se as concentrações nominais dos reagentes.
  • Quando [A^{-}]=[HA], então pH=pK_{a} — ponto útil para memorização.
  • A equação é válida quando o ácido é fraco (dissociação parcial) e as concentrações não são extremamente baixas (onde efeitos de atividade se tornam relevantes).

Resposta

pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right)

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