Expressar as integrais indefinidas como serie de potências
integral x1+x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral indefinida
integral x1+x^3,dx
como série de potências em torno de x=0.
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série geométrica de
11+u para |u|<1, com u = x^3, e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Para |x^3|<1 (isto é, |x|<1) temos a série geométrica
11+x^3 =sumn=0^infty(-1)^nl(x^3r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n

Passo 3

Multiplicando por x, o integrando fica
x1+x^3 =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+1

Passo 4

Agora integramos série a série (a integração termo a termo é válida para |x|<1):
integral x^3n+1,dx =x^3n+23n+2

Passo 5

Portanto a série para a integral é
integral x1+x^3,dx =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+23n+2+C,
válida para |x|<1.

Resposta

integral x1+x^3,dx =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+23n+2+C, |x|<1

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