Mostre a seguinte expressão integral para pi
pi=3 raiz3 integral0^1 / 2 d xx^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade
pi = 3raiz3integral0^1/2dxx^2-x+1
Estamos diante de uma integral de função racional quadrática. Para resolvê-la vamos completar o quadrado no denominador, usar a substituição que leva ao formato padrão de arctan e, em seguida, avaliar o integral definido.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
x^2-x+1 = l(x-tfrac12r)^2 +1 - l(tfrac12r)^2 = l(x-tfrac12r)^2 + tfrac34

Passo 3

Faça a substituição
t = x - tfrac12, dt = dx
Quando x vai de 0 a 1/2, t vai de -1/2 a 0. A integral torna-se
integral0^1/2dxx^2-x+1 = integral-1/2^0dt,t^2+(tfracraiz32)^2,

Passo 4

Sabemos que
integraldtt^2 + a^2 = 1aarctan!l(tar) + C
Aqui a = tfracraiz32, logo
integraldtt^2+(tfracraiz32)^2 = 2raiz3,arctan!l(2traiz3r) + C
Voltando a x, um antiderivado é
F(x) = 2raiz3,arctan!l(2x-1raiz3r)

Passo 5

Avalie o integral definido:
Fl(tfrac12r) = 2raiz3,arctan(0) = 0, F(0) = 2raiz3,arctan!l(-1raiz3r) = -pi3raiz3
Portanto
integral0^1/2dxx^2-x+1 = Fl(tfrac12r) - F(0) = 0 - l(-pi3raiz3r) = pi3raiz3
Multiplicando por 3raiz3 obtemos
3raiz3 integral0^1/2dxx^2-x+1 = 3raiz3 ,cdot pi3raiz3 = pi

Resposta

pi = 3raiz3integral0^1/2dxx^2-x+1

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