Mostre a seguinte expressão integral para
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a identidade
Estamos diante de uma integral de função racional quadrática. Para resolvê-la vamos completar o quadrado no denominador, usar a substituição que leva ao formato padrão de arctan e, em seguida, avaliar o integral definido.
Passo 2
Complete o quadrado no denominador:
Passo 3
Faça a substituição
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. A integral torna-se
Passo 4
Sabemos que
Aqui
, logo
Voltando a
, um antiderivado é
Passo 5
Avalie o integral definido:
Portanto
Multiplicando por
obtemos