Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites
lim x 0 e^-x^2-1+x^2x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0e^-x^2 - 1 + x^2x^4
usando a série de Maclaurin. Vamos precisar da expansão de exp(u) até a ordem u^4 e, em seguida, substituir u=-x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin de exp(u) em torno de u=0 é
exp(u) = 1 + u + u^22! + u^33! + u^44! + O(u^5)

Passo 3

Substituindo u=-x^2 na série acima, obtemos
e^-x^2 = 1 + (-x^2) + (-x^2)^22! + (-x^2)^33! + (-x^2)^44! + O(x^10)
= 1 - x^2 + x^42 - x^66 + x^824 + O(x^10)

Passo 4

Agora calculamos o numerador da expressão do limite:
e^-x^2 - 1 + x^2 = l(1 - x^2 + tfracx^42 + O(x^6)r) - 1 + x^2 = x^42 + O(x^6)

Passo 5

Dividindo pelo x^4 e tomando xto0, temos
e^-x^2 - 1 + x^2x^4 = tfracx^42 + O(x^6)x^4 = 12 + O(x^2) longrightarrow 12

Resposta

12

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