(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) y^{2}-1=0
( )Duas retas paralelas
b) 9 x^{2}+4 y^{2}+36 x-40 y+100=0
( )Elipse
c) 3 y^{2}+2 x-y=0
( )Parábola
d) -x^{2}+2 y^{2}+6 x+4 y+9=0
( )Hipérbole

Passo 1

O enunciado dá quatro equações de cônicas e pede para identificarmos cada uma como “duas retas paralelas”, “elipse”, “parábola” ou “hipérbole”. Vamos usar dois critérios principais:
  1. Quando a equação se separa em produto de fatores lineares, pode ser par de retas.
  2. Para curvas de segundo grau genéricas Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0:
  • Se B^2 - 4AC>0, é hipérbole.
  • Se B^2 - 4AC=0, é parábola.
  • Se B^2 - 4AC<0, é elipse (ou circunferência, caso A=C e B=0).

Passo 2

Analisando a)
y^2 - 1 = 0
essa equação é equivalente a
(y-1)(y+1)=0,
ou seja, y=1 ou y=-1. São duas retas horizontais paralelas.

Passo 3

Analisando b)
9x^2+4y^2+36x-40y+100=0.
Primeiro completamos quadrados:
9\bigl(x^2+4x\bigr)+4\bigl(y^2-10y\bigr)+100=0,
9\bigl((x+2)^2-4\bigr)+4\bigl((y-5)^2-25\bigr)+100=0,
9(x+2)^2+4(y-5)^2-36-100+100=0,
9(x+2)^2+4(y-5)^2=36.
Isso é uma elipse, pois soma de quadrados igual a constante.

Passo 4

Analisando c)
3y^2+2x-y=0
pode ser reescrita como
2x = -3y^2 + y \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{3}{2}y^2 + \tfrac12 y.
É uma parábola (grau 2 em y e grau 1 em x).

Passo 5

Analisando d)
-x^2+2y^2+6x+4y+9=0.
Aqui A=-1, B=0, C=2, então
B^2-4AC = 0 - 4(-1)(2)=8>0.
Logo é uma hipérbole.

Resposta

(a) Duas retas paralelas
(b) Elipse
(c) Parábola
(d) Hipérbole

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