Expressar o volume V do cone em função de sua geratriz x e do raio da base y. Em seguida, determine o domínio de tal função.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume V de um cone em função da sua geratriz x (a aresta inclinada) e do raio da base y. Vamos usar a fórmula clássica do volume de um cone e a relação geométrica que liga geratriz, altura e raio via Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Denominando por h a altura do cone, o Teorema de Pitágoras no triângulo formado por \bigl(h,y,x\bigr)
x^2 \;=\; h^2 \;+\; y^2.
Isolando h, temos
h \;=\;\sqrt{x^2 - y^2}.

Passo 3

A fórmula do volume de um cone de raio y e altura h é
V = \frac{1}{3}\,\pi\,y^2\,h.
Substituindo h = \sqrt{x^2 - y^2}, obtemos
V(x,y) \;=\; \frac{1}{3}\,\pi\,y^2\,\sqrt{x^2 - y^2}.

Passo 4

Para que V(x,y) faça sentido, precisamos de
  1. y\ge0 (raio não negativo),
  2. x>0 (geratriz positiva),
  3. x^2 - y^2 \ge 0 (para a raiz ser real), ou seja y\le x.
Logo o domínio natural é
\{(x,y)\mid x>0,\;0\le y\le x\}.

Resposta

V(x,y) \;=\; \frac{1}{3}\,\pi\,y^2\,\sqrt{x^2 - y^2}, \quad \text{com domínio } \{(x,y)\mid x>0,\;0\le y\le x\}.í

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