Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{3^{n}} é convergente e seu valor é \frac{11}{5};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{3^{n}}\Bigr)
é convergente e se seu valor é \tfrac{11}{5}. Aqui vamos usar duas ideias: telescoping para \sum(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}) e soma de série geométrica para \sum \tfrac1{3^n}.

Passo 2

Considere a parte telescópica
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\Bigr).
Ao expandir os primeiros termos, nota-se que tudo cancela, sobrando
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\Bigr) =1-\tfrac{1}{N+1}.
Fazendo N\to\infty, o termo \tfrac1{N+1} vai a zero, logo essa parte converge para 1.

Passo 3

Agora a parte geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{3^n}
é uma série geométrica com primeiro termo a=\tfrac13 e razão r=\tfrac13. Sua soma é
\frac{a}{1-r} =\frac{\tfrac13}{1-\tfrac13} =\frac{\tfrac13}{\tfrac23} =\tfrac12.

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
1 + \tfrac12 = \tfrac32.
Portanto, a série converge de fato, mas seu valor é \tfrac32, e não \tfrac{11}{5}.

Resposta

F
(A série converge, mas seu valor é \tfrac32, diferente de \tfrac{11}{5}.)

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