Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln ^{3}(n)} é convergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln^{3}(n)}
é convergente. Isso é uma série de termos positivos; para decidir convergência, vamos usar o teste de comparação com a série harmônica \sum1/n, que sabemos divergir.

Passo 2

Para n grande temos crescimento assintótico conhecido de funções elementares:
\ln(n)\le n^{1/3}
para todo n suficientemente grande. Elevando ao cubo,
(\ln n)^{3}\le n,
e invertendo (todas as quantidades são positivas para n\ge2),
\frac{1}{(\ln n)^{3}}\ge \frac{1}{n}.

Passo 3

Como a série harmônica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente e para n grande \frac{1}{(\ln n)^{3}}\ge \frac{1}{n}, o teste de comparação direta implica que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{3}}
também deve divergir.

Resposta

F (falsa): a série diverge.

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