Expresse cada integral como uma integral equivalente em que a integração em z é a primeira a ser feita, a em y é a segunda e a em x ê a última.
integral0^4 integraly^8-y integral0^raiz4-y f(x, y, z) d x d z d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integraly=0^4integralz=y^8-yintegralx=0^raiz4-yf(x,y,z),dx,dz,dy
e pede para reescrevê-la de modo que a integração em z seja a primeira, em y a segunda e em x a última. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais triplas: primeiro localizamos a região D em (x,y,z), depois projetamos em planos apropriados para achar os novos limites.

Passo 2

A região D é dada por
0 <= y <= 4, y <= z <= 8-y, 0 <= x <= raiz4-y
Em outras palavras,
D = (x,y,z)mid 0<= y<= 4,;y<= z<= 8-y,;0<= x<= raiz4-y

Passo 3

Para reverter a ordem de integração de modo que x seja a variável externa, projetamos D no plano xy. A condição 0<= x<= raiz4-y equivale a
0<= y<= 4-x^2 Long<=ftrightarrow 0<= x<= 2,;0<= y<= 4-x^2
Mantém-se para cada (x,y) o mesmo limite em z: y<= z<= 8-y.

Passo 4

Portanto, a integral na ordem desejada ( dz primeiro, dy segundo, dx por fim) fica
integralx=0^2integraly=0^4-x^2integralz=y^8-yf(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

integralx=0^2integraly=0^4-x^2integralz=y^8-yf(x,y,z),dz,dy,dx

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