Expresse cada integral como uma integral equivalente em que a integração
é a primeira a ser feita, a em
é a segunda e a em
é a última.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
sobre a região
, e pede para reescrever a integral de forma que a integração em
seja feita primeiro, em
segunda e em
por último. Vamos usar conceitos de mudança de ordem de integração em integrais triplas e projeção de regiões.
Passo 2
Identificamos a região
como o primeiro octante do interior da esfera de raio 3. Para integrar em
primeiro, fixamos
e determinamos os limites de
a partir da equação da esfera:
Passo 3
Agora projetamos
no plano
. A projeção é
Dessa forma, os limites para
e
são
Passo 4
Juntando tudo, a ordem de integração passa a ser
(interna),
(média) e
(externa). Portanto a integral equivalente é