Expresse cada integral como uma integral equivalente em que a integração em z é a primeira a ser feita, a em y é a segunda e a em x é a última.
integral0^3 integral0^raiz9-z^2 integral0^raiz9-y^2-z^2 f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integralz=0^3integraly=0^raiz9-z^2integralx=0^raiz9-y^2-z^2f(x,y,z),dx,dy,dz
sobre a região D=(x,y,z)mid x,y,z>=0,;x^2+y^2+z^2<=9, e pede para reescrever a integral de forma que a integração em z seja feita primeiro, em y segunda e em x por último. Vamos usar conceitos de mudança de ordem de integração em integrais triplas e projeção de regiões.

Passo 2

Identificamos a região D como o primeiro octante do interior da esfera de raio 3. Para integrar em z primeiro, fixamos (x,y) e determinamos os limites de z a partir da equação da esfera:
x^2+y^2+z^2<=9 Longrightarrow 0<= z<=raiz9 - x^2 - y^2

Passo 3

Agora projetamos D no plano xy. A projeção é
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=9
Dessa forma, os limites para x e y são
0<= x<=3, 0<= y<=raiz9 - x^2

Passo 4

Juntando tudo, a ordem de integração passa a ser dz (interna), dy (média) e dx (externa). Portanto a integral equivalente é
integralx=0^3 integraly=0^raiz9 - x^2 integralz=0^raiz9 - x^2 - y^2 f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

boxed integralx=0^3 integraly=0^raiz9 - x^2 integralz=0^raiz9 - x^2 - y^2 f(x,y,z),dz,dy,dx

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