Expresse cada integral como uma integral equivalente em que a integração em z é a primeira a ser feita, a em y é a segunda e a em x é a última.
integral0^4 integral0^4-y integral0^raizz f(x, y, z) d x d z d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integraly=0^4integralz=0^4-yintegralx=0^raizzf(x,y,z),dx,dz,dy
e pede para reescrevê-la de modo que a integração em z seja a primeira (interna), em y a segunda e em x a última (externa). O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais triplas, para o que precisamos descrever bem a região de integração em termos de desigualdades e projetá-la no plano xy.

Passo 2

Descrimos a região D pelos limites originais:
0 <= y <= 4, 0 <= z <= 4 - y, 0 <= x <= raizz
Da desigualdade x <= raizz obtemos x^2 <= z. Então
D = (x,y,z)mid 0 <= y <= 4,;x^2 <= z <= 4 - y

Passo 3

Projetando D no plano xy, eliminamos z das desigualdades x^2<= z<= 4-y. Para que exista z satisfazendo x^2<= 4-y é necessário
x^2 <= 4 - y Long<=ftrightarrow y <= 4 - x^2
Considerando y>=0 e x>=0 (pois x<=raizz e z>=0), temos
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 - x^2

Passo 4

Para cada par (x,y) no retângulo definido acima, z varia de z=x^2 até z=4-y. Assim a integral na ordem dz,dy,dx fica
integralx=0^2 integraly=0^4 - x^2 integralz=x^2^4 - y f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

boxed integralx=0^2 integraly=0^4 - x^2 integralz=x^2^4 - y f(x,y,z),dz,dy,dx

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