Expresse em termos de r e \theta as seguintes equações, onde z=r e^{i \theta} : Simplifique ao máximo sua resposta.
\left|z^{2}\right|=4;

Passo 1

O enunciado dá que z = r e^{i\theta} e pede para expressar, em termos de r e \theta, a equação
\left|z^{2}\right|=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • r é o módulo de z (logo r\ge 0).
  • \theta é o argumento de z (um número real, normalmente considerado módulo 2\pi).
  • Queremos reescrever a condição \left|z^{2}\right|=4 usando apenas r e \theta.

Passo 2

Lembrete importante sobre módulo em forma polar: se z=re^{i\theta}, então o módulo de z é exatamente r. Vou mostrar por quê, passo a passo.
Sabendo que e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, tem-se
\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=\sqrt{1}=1.
Assim, como r é um número real não-negativo,
\left|z\right|=\left|r e^{i\theta}\right|=|r|\left|e^{i\theta}\right|=r\cdot 1=r.

Passo 3

Propriedade do módulo: para qualquer número complexo w vale \left|w^{2}\right|=\left|w\right|^{2}. Aplicando isso a z obtemos
\left|z^{2}\right|=\left|z\right|^{2}.
Alternativamente, usando a forma polar diretamente, z^{2}=(r e^{i\theta})^{2}=r^{2}e^{i2\theta}, e portanto
\left|z^{2}\right|=\left|r^{2}e^{i2\theta}\right|=r^{2}\left|e^{i2\theta}\right|=r^{2}\cdot 1=r^{2}.

Passo 4

Substituindo na equação dada \left|z^{2}\right|=4 a expressão que encontramos para \left|z^{2}\right|, obtemos
r^{2}=4.
Aqui lembrar que, pela definição de r, tem-se r\ge 0.

Passo 5

Da equação r^{2}=4 e da condição r\ge 0 segue que r tem valor único não-negativo que satisfaz a equação. A variável \theta não aparece na equação final, portanto não é restrita por ela (pode ser qualquer número real, usualmente considerado módulo 2\pi).

Resposta

r=2 \
\theta\in\mathbb{R}

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