Sem usar a expansão pelo Binômio de Newton, mostre que
é um número real, se
é um inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expressão
é um número real para todo inteiro positivo
. As informações dadas são os dois complexos
e
e que
é um inteiro positivo. O objetivo é provar que a soma das potências desses dois complexos é sempre real, sem usar a expansão pelo Binômio de Newton.
Passo 2
Primeiro vamos recordar o que é o módulo (ou norma) de um número complexo e calcular o módulo de
.
Definição: o módulo de um número complexo
é
ou seja, a distância do ponto
à origem no plano complexo.
Aplicando a definição em
(aqui
e
):
Portanto o módulo é
.
Passo 3
Agora vamos encontrar o argumento (ângulo) de
. Para um complexo
no semiplano onde
e
, o argumento
satisfaz
No nosso caso
,
,
. Logo
Os valores conhecidos que satisfazem isso são
(ângulo de
). Assim podemos escrever
na forma trigonométrica (forma polar):
Passo 4
Observe que
é o conjugado de
. Em termos de argumento, o conjugado corresponde a trocar
por
. Assim
Passo 5
Agora usamos o Teorema de De Moivre, que diz o seguinte:
Teorema de De Moivre: para
,
e inteiro
,
Aqui
é o módulo e
o argumento. Esse teorema permite elevar um número complexo escrito em forma trigonométrica de forma direta (sem usar binômio).
Aplicando-o às duas expressões:
Passo 6
Somando as duas expressões obtidas:
Os termos imaginários se cancelam, porque
aparece com sinais opostos. Logo sobra somente a parte real:
A expressão à direita é um número real (produto de potências de
e de
de um ângulo real). Portanto a soma é real para todo inteiro positivo
.
Como checagem rápida, para
a fórmula dá
, que é exatamente
.
Resposta
que é um número real para todo inteiro positivo
.