Sem usar a expansão pelo Binômio de Newton, mostre que
(\sqrt{3}+i)^{n}+(\sqrt{3}-i)^{n}
é um número real, se n é um inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão
(\sqrt{3}+i)^{n}+(\sqrt{3}-i)^{n}
é um número real para todo inteiro positivo n. As informações dadas são os dois complexos \sqrt{3}+i e \sqrt{3}-i e que n é um inteiro positivo. O objetivo é provar que a soma das potências desses dois complexos é sempre real, sem usar a expansão pelo Binômio de Newton.

Passo 2

Primeiro vamos recordar o que é o módulo (ou norma) de um número complexo e calcular o módulo de \sqrt{3}+i.
Definição: o módulo de um número complexo z=x+iy é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
ou seja, a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo.
Aplicando a definição em z=\sqrt{3}+i (aqui x=\sqrt{3} e y=1):
|\,\sqrt{3}+i\,|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Portanto o módulo é 2.

Passo 3

Agora vamos encontrar o argumento (ângulo) de \sqrt{3}+i. Para um complexo z=x+iy no semiplano onde \cos\theta=\dfrac{x}{|z|} e \sin\theta=\dfrac{y}{|z|}, o argumento \theta satisfaz
\cos\theta=\frac{x}{|z|},\qquad \sin\theta=\frac{y}{|z|}.
No nosso caso x=\sqrt{3}, y=1, |z|=2. Logo
\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{1}{2}.
Os valores conhecidos que satisfazem isso são \theta=\dfrac{\pi}{6} (ângulo de 30^\circ). Assim podemos escrever \sqrt{3}+i na forma trigonométrica (forma polar):
\sqrt{3}+i = 2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{6} + i\sin\!\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Observe que \sqrt{3}-i é o conjugado de \sqrt{3}+i. Em termos de argumento, o conjugado corresponde a trocar \theta por -\theta. Assim
\sqrt{3}-i = 2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{6} - i\sin\!\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr).

Passo 5

Agora usamos o Teorema de De Moivre, que diz o seguinte:
Teorema de De Moivre: para r>0, \theta\in\mathbb{R} e inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo e \theta o argumento. Esse teorema permite elevar um número complexo escrito em forma trigonométrica de forma direta (sem usar binômio).
Aplicando-o às duas expressões:
(\sqrt{3}+i)^{n} = 2^{n}\bigl(\cos(n\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(n\tfrac{\pi}{6})\bigr),
(\sqrt{3}-i)^{n} = 2^{n}\bigl(\cos(n\tfrac{\pi}{6}) - i\sin(n\tfrac{\pi}{6})\bigr).

Passo 6

Somando as duas expressões obtidas:
(\sqrt{3}+i)^{n}+(\sqrt{3}-i)^{n} =2^{n}\bigl(\cos(n\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(n\tfrac{\pi}{6})\bigr) +2^{n}\bigl(\cos(n\tfrac{\pi}{6}) - i\sin(n\tfrac{\pi}{6})\bigr).
Os termos imaginários se cancelam, porque i\sin(n\tfrac{\pi}{6}) aparece com sinais opostos. Logo sobra somente a parte real:
(\sqrt{3}+i)^{n}+(\sqrt{3}-i)^{n} =2^{n}\bigl(2\cos(n\tfrac{\pi}{6})\bigr) =2^{\,n+1}\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{6}\bigr).
A expressão à direita é um número real (produto de potências de 2 e de \cos de um ângulo real). Portanto a soma é real para todo inteiro positivo n.
Como checagem rápida, para n=1 a fórmula dá 2^{2}\cos(\tfrac{\pi}{6})=4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}, que é exatamente (\sqrt{3}+i)+(\sqrt{3}-i)=2\sqrt{3}.

Resposta

(\sqrt{3}+i)^{n}+(\sqrt{3}-i)^{n}=2^{\,n+1}\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{6}\bigr),
que é um número real para todo inteiro positivo n.

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