Para um líquido com valores típicos \alpha=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, \kappa=10^{-4} \mathrm{atm}^{-1}, V_{\mathrm{m}}=50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}, C_{P, \mathrm{~m}}=150 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}, calcule a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm:
(a) (\partial H_{\mathrm{m}} / \partial T)_{P}

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos: calcular o valor de \left(\dfrac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} à temperatura 25^\circ\mathrm{C} e pressão 1\\ \mathrm{atm}. Valores típicos fornecidos:
\alpha = 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},\qquad \kappa = 10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1},\qquad V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm^{3}/mol},\qquad C_{P,\mathrm{m}} = 150\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Aqui \alpha é o coeficiente de expansão volumétrica, \kappa é a compressibilidade isotérmica, V_{\mathrm{m}} é o volume molar e C_{P,\mathrm{m}} é a capacidade térmica molar à pressão constante. A pergunta pede explicitamente o derivada parcial de H_{\mathrm{m}} em relação a T mantendo P constante.

Passo 2

Lembra do que é entalpia molar H_{\mathrm{m}}: é a energia interna por mol mais o produto pressão·volume por mol. Mais formalmente, para energia interna U e entropia S valem as relações termodinâmicas fundamentais. Começamos da relação de energia interna diferencial:
\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V,
onde U é energia interna, T é temperatura (em K), S é entropia, P é pressão e V é volume. Essas são definições básicas da termodinâmica: a variação de U tem parte T\,\mathrm{d}S (troca térmica) e -P\,\mathrm{d}V (trabalho de expansão).

Passo 3

Definimos entalpia H (ou entalpia molar H_{\mathrm{m}}) como
H = U + P V.
Diferenciando H e usando a relação para \mathrm{d}U obtemos:
\mathrm{d}H = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}P = \bigl(T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V\bigr) + P\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}P = T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}P.
Aqui expliquei cada termo: \mathrm{d}U T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V, os termos -P\,\mathrm{d}V e +P\,\mathrm{d}V se cancelam, sobrando T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}P.

Passo 4

Agora imponha pressão constante: \mathrm{d}P=0. Com isso a expressão simplifica para
\mathrm{d}H = T\,\mathrm{d}S \qquad(\text{a }P\text{ constante}).
Tomando a derivada parcial de H em relação a T a pressão fixa, escrevemos
\left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} = T\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}.
Esta é uma relação importante: a derivada de H em T a P constante está ligada à variação da entropia com T à pressão constante.

Passo 5

Definição de capacidade térmica molar à pressão constante: por definição
C_{P,\mathrm{m}} \equiv \left(\dfrac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}.
Também é comum escrever C_{P,\mathrm{m}} = T\left(\dfrac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}, que bate com o passo anterior. Portanto o que a questão pede em (a) é exatamente a capacidade térmica molar à pressão constante. Assim, numericamente:
\left(\dfrac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} = C_{P,\mathrm{m}} = 150\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Observação pedagógica: os outros dados ( \alpha,\kappa,V_{\mathrm{m}}) não foram necessários para esta parte porque a relação é definição/identidade termodinâmica. A temperatura 25^\circ\mathrm{C} e pressão 1\\ \mathrm{atm} só especificam o ponto em que o derivada é tomada; como nos foi dado o valor de C_{P,\mathrm{m}} nesse ponto, basta usá‑lo.

Resposta

\;150\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

Exercícios relacionados