Expresse a dízima periódica como a razão de dos inteiros 3 . \overline{142857}
Thomas 12ed exer 10.2.26
Sol. \frac{116402}{37037}
Passo 1
O enunciado pede para transformar a dízima periódica 3.\overline{142857} em uma fração. O conteúdo aqui é “conversão de dízima periódica em razão de inteiros” usando o truque de igualar a um x e subtrair múltiplos de x.
Passo 2
Seja
x = 3.\overline{142857}.
O período 142857 tem 6 dígitos.
Passo 3
Multiplicamos x por 10^6 para deslocar o período:
10^6 x = 3142857.\overline{142857}.
Subtraindo x em si, obtemos
10^6 x - x = 3142857.\overline{142857} - 3.\overline{142857}.
Passo 4
Isso dá
(10^6 - 1)\,x = 3142854,
ou seja,
999999\,x = 3142854 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3142854}{999999}.
Passo 5
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 9:
x = \frac{3142854\div9}{999999\div9} = \frac{116402}{37037}.