Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
Passo 1
Vamos analisar a equação
. Nosso objetivo é reescrevê-la na forma polar de uma cônica, identificar qual tipo de cônica é essa, determinar sua excentricidade e encontrar a equação da reta diretriz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares, cônicas, excentricidade e diretrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas,
e
. Vamos substituir essas expressões na equação original:
Isso simplifica para:
Fatorando
, temos:
Sabemos que
, então:
Isolando
:
Essa é a forma polar da equação dada.
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação
é uma hipérbole, pois possui sinais opostos nos termos quadráticos e representa duas curvas abertas.
Passo 4
Para determinar a excentricidade (
) da hipérbole, usamos a fórmula:
Na nossa equação
, comparando com a forma padrão
, vemos que
e
. Então:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Para uma hipérbole, a diretriz é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação
na forma polar é
. Essa cônica é uma hipérbole com excentricidade igual a
e a equação da reta diretriz é
.