Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
x^2-y^2=1

Passo 1

Vamos analisar a equação x^2 - y^2 = 1. Nosso objetivo é reescrevê-la na forma polar de uma cônica, identificar qual tipo de cônica é essa, determinar sua excentricidade e encontrar a equação da reta diretriz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares, cônicas, excentricidade e diretrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, x = rcostheta e y = rsintheta. Vamos substituir essas expressões na equação original:
(rcostheta)^2 - (rsintheta)^2 = 1
Isso simplifica para:
r^2cos^2theta - r^2sin^2theta = 1
Fatorando r^2, temos:
r^2(cos^2theta - sin^2theta) = 1
Sabemos que cos^2theta - sin^2theta = cos(2theta), então:
r^2cos(2theta) = 1
Isolando r:
r = 1raizcos(2theta)
Essa é a forma polar da equação dada.

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação x^2 - y^2 = 1 é uma hipérbole, pois possui sinais opostos nos termos quadráticos e representa duas curvas abertas.

Passo 4

Para determinar a excentricidade ( e) da hipérbole, usamos a fórmula:
e = raiz1 + b^2a^2
Na nossa equação x^2 - y^2 = 1, comparando com a forma padrão x^2a^2 - y^2b^2 = 1, vemos que a^2 = 1 e b^2 = 1. Então:
e = raiz1 + 11 = raiz2

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Para uma hipérbole, a diretriz é dada por:
x = ae
Substituindo os valores de a e e:
x = 1raiz2

Resposta

A equação x^2 - y^2 = 1 na forma polar é r = 1raizcos(2theta). Essa cônica é uma hipérbole com excentricidade igual a raiz2 e a equação da reta diretriz é x = 1raiz2.

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