Expresse a função h(x) como uma composição de duas funçoes f(x) e g(x). Use a regra da cadeia para calcular a derivada h^prime(x).
h(x)=cos (x^2+1)+x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para escrever
h(x)=cosl(x^2+1r)+x^2-1
como composição de duas funções f e g e, em seguida, usar a regra da cadeia para achar h'(x). O conteúdo necessário é entender a regra da cadeia: se h(x)=fl(g(x)r), então
h'(x)=f'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 2

Escolhemos
g(x)=x^2+1,
de modo que o termo interno seja x^2+1. Logo, devemos ter
f(u)=cos(u)+u-2,
pois ao substituir u=g(x)=x^2+1 obtemos
fl(g(x)r)=cosl(x^2+1r)+(x^2+1)-2 =cosl(x^2+1r)+x^2-1,
que é exatamente h(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de g e f:
g'(x)=ddxl(x^2+1r)=2x,
f'(u)=ddul(cos(u)+u-2r) =-sin(u)+1

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
h'(x)=f'l(g(x)r)cdot g'(x) =l[-sinl(g(x)r)+1r]cdot 2x
Substituindo g(x)=x^2+1, fica
h'(x)=2xl[1-sinl(x^2+1r)r]

Resposta

boxedh'(x)=2xl[1-sinl(x^2+1r)r]

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