Expresse a implicitamente como uma função de A, b, e B e calcule partial a / partial A e partial a / partial B.

Passo 1

Opa! Vamos lá entender o que a questão pede. Temos que expressar a variável de forma implícita como uma função das variáveis , e . Depois, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é super útil quando as variáveis estão todas misturadas numa equação e não dá pra separar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função implícita. Quando temos uma relação onde não está isolada, mas aparece junto com outras variáveis, dizemos que é uma função implícita dessas variáveis. Por exemplo, se tivermos uma equação como , ela relaciona todas essas variáveis, mas não está fácil ver como depende de , e .

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais de F(a, A, b, B) = 0 em relação a e , vamos usar a diferenciação implícita. A ideia é derivar toda a equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .
Vamos supor que temos uma equação geral:

Passo 4

Primeiro, vamos derivar em relação a partial Fpartial a cdot partial apartial A + partial Fpartial A = 0 :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia porque depende de .

Passo 5

Agora, isolamos partial apartial A = -partial Fpartial Apartial Fpartial a :

Passo 6

De forma similar, derivamos a equação original em relação a partial Fpartial a cdot partial apartial B + partial Fpartial B = 0 :

Passo 7

Isolando partial apartial B = -partial Fpartial Bpartial Fpartial a :

Resposta

Portanto, as derivadas parciais de partial apartial A = -partial Fpartial Apartial Fpartial a são:
partial apartial B = -partial Fpartial Bpartial Fpartial a

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