Expresse
implicitamente como uma função de
, e
e calcule
e
.
Passo 1
Opa! Vamos lá entender o que a questão pede. Temos que expressar a variável
de forma implícita como uma função das variáveis
,
e
. Depois, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é super útil quando as variáveis estão todas misturadas numa equação e não dá pra separar
facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função implícita. Quando temos uma relação onde
não está isolada, mas aparece junto com outras variáveis, dizemos que
é uma função implícita dessas variáveis. Por exemplo, se tivermos uma equação como
, ela relaciona todas essas variáveis, mas não está fácil ver como
depende de
,
e
.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, vamos usar a diferenciação implícita. A ideia é derivar toda a equação
em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Vamos supor que temos uma equação geral:
Passo 4
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia porque
depende de
.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
De forma similar, derivamos a equação original em relação a
:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais de
são: