Para as funções
e
apresentadas a seguir, determine
e
e os seus respectivos domínios:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
e
. O objetivo é encontrar as composições
,
,
e
, além dos domínios de cada uma delas. Vamos precisar entender como compor funções e verificar onde elas são definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa que a gente vai substituir
dentro de
.
Então, temos:
Simplificando, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio de
. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como estamos tirando a raiz quadrada, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Então:
Isso é sempre verdadeiro para qualquer número real
, porque o quadrado de qualquer número é não negativo. Portanto, o domínio de
é todos os números reais, ou seja:
Passo 4
Vamos agora encontrar
. Aqui, substituímos
dentro de
:
Passo 5
Para o domínio de
, precisamos verificar onde
está definida, já que
está definida para todos os reais.
A função
está definida quando:
Então, o domínio de
é:
Passo 6
Agora vamos calcular
. Isso significa que vamos colocar
dentro de
:
Para isso fazer sentido, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, a função
está definida para
.
Passo 7
Finalmente, vamos encontrar
. Substituímos
dentro de
:
Para expandir isso:
Passo 8
O domínio de
é onde
está definida, já que
é um polinômio e está definida para todos os números reais.
Então:
Resposta
As composições das funções e seus domínios são: