Para as funções f e g apresentadas a seguir, determine f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) e g(g(x)) e os seus respectivos domínios:
f(x) = raiz(x - 1) e g(x) = 3x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . O objetivo é encontrar as composições , , e , além dos domínios de cada uma delas. Vamos precisar entender como compor funções e verificar onde elas são definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Isso significa que a gente vai substituir dentro de .
Então, temos:
Simplificando, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como estamos tirando a raiz quadrada, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Então:
Isso é sempre verdadeiro para qualquer número real , porque o quadrado de qualquer número é não negativo. Portanto, o domínio de é todos os números reais, ou seja:

Passo 4

Vamos agora encontrar . Aqui, substituímos dentro de :

Passo 5

Para o domínio de , precisamos verificar onde está definida, já que está definida para todos os reais.
A função está definida quando:
Então, o domínio de é:

Passo 6

Agora vamos calcular . Isso significa que vamos colocar dentro de :
Para isso fazer sentido, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, a função está definida para .

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar . Substituímos dentro de :
Para expandir isso:

Passo 8

O domínio de é onde está definida, já que é um polinômio e está definida para todos os números reais.
Então:

Resposta

As composições das funções e seus domínios são:

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