Mostre que cada função nos Exercícios 63-68 satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace. Isso está ligado ao estudo de funções harmônicas na matéria de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a
e
e somá-las. Se o resultado for zero, então a função satisfaz a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A função
tem uma parte que depende de
e outra que depende de
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
é tratada como uma constante.
Passo 5
Agora, derivamos novamente
em relação a
para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Finalmente, aplicamos a equação de Laplace, que diz que a soma das segundas derivadas parciais em
e
deve ser zero:
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.