Expresse a integral integral duplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
y^2+z^2=9, x=-2, x=2

Passo 1

O enunciado pede expressar a integral tripla sobre o sólido E como seis integrais iteradas em todas as ordens possíveis de x, y e z. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para integráveis em , R^3, e vamos precisar descrever o sólido e obter os limites de integração em cada ordem.

Passo 2

O sólido E é o cilindro reto de raio 3 ao longo do eixo x, limitado pelos planos x = –2 e x = 2. Portanto podemos caracterizar E como
E = (x,y,z) : -2 <= x <= 2,; y^2 + z^2 <= 9
Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração livremente.

Passo 3

Agora vamos escolher x como variável de integração interna. As duas ordens possíveis são:
integralz=-3^3integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2integralx=-2^2f(x,y,z),dx,dy,dz
integraly=-3^3integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2integralx=-2^2f(x,y,z),dx,dz,dy

Passo 4

Agora escolhemos y como variável interna. As duas ordens ficam:
integralz=-3^3integralx=-2^2integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2f(x,y,z),dy,dx,dz
integralx=-2^2integralz=-3^3integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2f(x,y,z),dy,dz,dx

Passo 5

Por fim, escolhemos z como variável interna. As duas últimas ordens são:
integraly=-3^3integralx=-2^2integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2f(x,y,z),dz,dx,dy
integralx=-2^2integraly=-3^3integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

As seis representações iteradas são:
integralz=-3^3integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2integralx=-2^2f(x,y,z),dx,dy,dz
integraly=-3^3integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2integralx=-2^2f(x,y,z),dx,dz,dy
integralz=-3^3integralx=-2^2integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2f(x,y,z),dy,dx,dz
integralx=-2^2integralz=-3^3integraly=-raiz9 - z^2^raiz9 - z^2f(x,y,z),dy,dz,dx
integraly=-3^3integralx=-2^2integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2f(x,y,z),dz,dx,dy
integralx=-2^2integraly=-3^3integralz=-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2f(x,y,z),dz,dy,dx

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