Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as seguintes integrais:
(c) integral1^2 1x-e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral
integral1^2l(tfrac1x-e^-xr),dx
Para isso precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de tfrac1x-e^-x e depois avaliar essa primitiva nos limites x=1 e x=2.

Passo 2

Seja f(x)=tfrac1x-e^-x. Vamos calcular uma primitiva F(x):
- A primitiva de tfrac1x é ln(x), pois l(ln(x)r)'=1/x.
- A primitiva de -e^-x é e^-x, pois l(e^-xr)'=-e^-x.
Logo podemos escolher
F(x)=ln(x)+e^-x

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^2l(tfrac1x-e^-xr),dx =F(2)-F(1) =l[ln(2)+e^-2r]-l[ln(1)+e^-1r]
Como ln(1)=0, segue
integral1^2l(tfrac1x-e^-xr),dx =ln(2)+e^-2-e^-1

Resposta

ln(2)+e^-2-e^-1

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