Expresse a integral tripla iterada,
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 d z d y d x
como uma integral tripla iterada equivalente em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida. (2,5 pontos)

Passo 1

Temos a integral
integral0^3integral0^raiz9-x^2integral0^raiz9-x^2-y^2 (x^2+y^2+z^2)^3,dz,dy,dx
O objetivo é expressá-la em coordenadas esféricas e avaliá-la. Vamos usar as relações x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o Jacobiano rho^2sinphi.

Passo 2

Observando os limites originais, a região de integração é o primeiro octante da esfera de raio 3,
x^2+y^2+z^2<=9, x,y,z>=0,
ologo em esféricas temos rhoin[0,3], phiin[0,pi/2] e thetain[0,pi/2].

Passo 3

Fazendo a mudança de variáveis, como (x^2+y^2+z^2)^3=(rho^2)^3=rho^6 e incluindo o Jacobiano, a integral se torna
integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^3 rho^6cdotrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^3 rho^8sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Calcule a parte radial:
integral0^3 rho^8,drho =rho^99|0^3 =3^99 =196839 =2187

Passo 5

As integrais angulares são separáveis:
integral0^pi/2sinphi,dphi=[-cosphi]0^pi/2=1,
integral0^pi/2dtheta=pi2

Passo 6

Multiplicando os resultados: 2187times1timespi2=2187pi2.

Resposta

Em coordenadas esféricas a integral equivalente é
integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^3 rho^8sinphi,drho,dphi,dtheta
e o valor dessa integral é
2187pi2.

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