Expresse a integral tripla iterada,
como uma integral tripla iterada equivalente em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida. (2,5 pontos)
Passo 1
Temos a integral
O objetivo é expressá-la em coordenadas esféricas e avaliá-la. Vamos usar as relações
,
,
e o Jacobiano
.
Passo 2
Observando os limites originais, a região de integração é o primeiro octante da esfera de raio 3,
ologo em esféricas temos
,
e
.
Passo 3
Fazendo a mudança de variáveis, como
e incluindo o Jacobiano, a integral se torna
Passo 4
Calcule a parte radial:
Passo 5
As integrais angulares são separáveis:
Passo 6
Multiplicando os resultados:
2187times1timespi2=2187pi2 .
Resposta
Em coordenadas esféricas a integral equivalente é
e o valor dessa integral é
2187pi2 .