Expresse ln (3 raiz2) e ln (4 / 9) em função de ln 2 e ln 3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever ln(3raiz2) e ln(4/9) em função de ln2 e ln3. O conteúdo envolvido são as propriedades de logaritmos: produto, quociente e potência, e vamos precisar usar que ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a-ln b e ln(a^k)=kln a.

Passo 2

Para ln(3raiz2), note que 3raiz2=3cdot2^1/2. Então aplicamos a propriedade do logaritmo de produto e de potência:
ln(3raiz2)=ln3+ln(2^1/2)
Como ln(2^1/2)=tfrac12ln2, temos
ln(3raiz2)=ln3+tfrac12ln2 .

Passo 3

Para ln(4/9), escrevemos 4=2^2 e 9=3^2, e aplicamos a propriedade do quociente e da potência:
lnl(4/9r)=ln(2^2)-ln(3^2)
Logo, ln(2^2)=2ln2 e ln(3^2)=2ln3, resultando em
ln(4/9)=2ln2-2ln3 .

Resposta

ln(3raiz2)=ln3+tfrac12ln2eln(4/9)=2ln2-2ln3.

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