2.7 Se lim x a[f(x)+g(x)]=2 e lim x a[f(x)-g(x)]=1, encontre lim x a[f(x) g(x)].

Passo 1

No enunciado temos que limxto a[f(x)+g(x)]=2 e limxto a[f(x)-g(x)]=1. O conteúdo envolvido é limite de soma, diferença e produto de funções. Vamos usar as propriedades de limite: limite de soma e diferença é soma e diferença dos limites, e limite do produto é o produto dos limites (desde que existam).

Passo 2

Seja Lf=limxto af(x) e Lg=limxto ag(x). Pelas condições do enunciado, temos o sistema de equações:
Lf+Lg=2
Lf-Lg=1
Somando as duas equações obtemos 2Lf=3, ou seja, Lf=tfrac32. Subtraindo a segunda da primeira ou substituindo em qualquer equação dá Lg=2-tfrac32=tfrac12.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de limite de produto: limxto a[f(x)g(x)]=Lfcdot Lg. Substituindo os valores achados, temos
tfrac32cdottfrac12=tfrac34

Resposta

tfrac34

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