a Questão.(3,0 pontos) Resolva os PVIs.
(b) dy/dx = x^2/(y + x^3 * y) , y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI aqui que tem uma equação diferencial. A matéria envolvida é Equações Diferenciais, especificamente a resolução de equações diferenciais separáveis. Pra resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e , integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para achar a constante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e :
Dessa forma, conseguimos separar de .

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, precisamos integrar:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Juntando as integrais e as constantes:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 6

Substituindo na equação geral:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz para achar :

Resposta

A solução do PVI é .

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