Questão.(3,0 pontos) Resolva os PVIs.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI aqui que tem uma equação diferencial. A matéria envolvida é Equações Diferenciais, especificamente a resolução de equações diferenciais separáveis. Pra resolver, a gente vai precisar separar as variáveis
e
, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para achar a constante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e
:
Dessa forma, conseguimos separar
de
.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos:
Do lado direito, precisamos integrar:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 5
Juntando as integrais e as constantes:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 6
Substituindo
na equação geral:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz para achar
:
Resposta
A solução do PVI é
.