Identifique as partes real e imaginária de
. Posteriormente, determine a imagem de
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar as partes real e imaginária da função
, e depois calcular a imagem dessa função para
. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer como separar uma função de números complexos nas suas partes real e imaginária, além de saber calcular o valor da função para um número complexo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Nossa função é
. A ideia é expandir essa expressão e separar as partes que multiplicam
(parte real) e as que multiplicam
(parte imaginária).
Passo 3
Vamos começar calculando
. Se
, então:
Lembrando que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
:
E multiplicar
por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, somamos as duas partes:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Então, a parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a imagem de
para
. Aqui,
e
. Vamos substituir esses valores na expressão das partes real e imaginária que encontramos.
Parte real:
Parte imaginária:
Resposta
A imagem de
para
é
.