Identifique as partes real e imaginária de f(z) = 3z^2 + (1 + 2i)z. Posteriormente, determine a imagem de f para z = 2 + i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar as partes real e imaginária da função , e depois calcular a imagem dessa função para . Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer como separar uma função de números complexos nas suas partes real e imaginária, além de saber calcular o valor da função para um número complexo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Nossa função é . A ideia é expandir essa expressão e separar as partes que multiplicam (parte real) e as que multiplicam (parte imaginária).

Passo 3

Vamos começar calculando . Se , então:
Lembrando que , temos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por :
E multiplicar por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos as duas partes:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Então, a parte real de é e a parte imaginária é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a imagem de para . Aqui, e . Vamos substituir esses valores na expressão das partes real e imaginária que encontramos.
Parte real:
Parte imaginária:

Resposta

A imagem de para é .

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