Expresse
como uma região horizontal simple e, também, como uma região vertical simple. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
é a região limitada pelas curvas
,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente expressar a região
de duas formas: como uma região horizontal simples e como uma vertical simples. Depois, a gente calcula a integral dupla
das duas maneiras. Para isso, vamos precisar entender como desenhar a região
e como configurar os limites de integração para cada caso. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites que definem a região
. As curvas são:
-
(uma linha horizontal), -
(outra linha horizontal), -
(o eixo y), -
(uma linha reta passando pela origem com inclinação 45°).
Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar melhor a região.
Passo 3
Ao desenhar, vemos que a região
está entre
e
, à direita do eixo
e abaixo da linha
. Os pontos de interseção entre
e
é quando
, e com
é quando
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
como uma região horizontal simples. Isso significa que para cada valor de
entre 1 e 2,
varia de 0 até
. Logo, os limites de integração ficam:
Passo 5
Em seguida, vamos expressar
como uma região vertical simples. Aqui, para cada valor de
,
varia de 1 até 2, mas precisamos considerar como
está limitado. Observando a região,
vai de 0 até 2, e para cada
,
vai de 1 até
, ou seja, até 2 se
. Porém, para
entre 0 e 1,
vai de 1 até 2, e para
entre 1 e 2,
vai de
até 2.
Então, dividimos em duas partes:
- Para
: - Para
:
Passo 6
Agora vamos calcular a integral dupla de duas maneiras. Primeiro, usando a região horizontal simples:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral usando a região vertical simples. Lembrando que dividimos a região em duas partes:
Primeiro, a integral de
a
:
Em seguida, a integral de
a
:
Resolvendo essa integral:
Somando as duas partes:
Resposta
A integral dupla
vale 3,1.