Expresse R como uma região horizontal simple e, também, como uma região vertical simple. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
integral duplaR x y^2 d x d y, R é a região limitada pelas curvas y=1, y=2, x=0 e y=x ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente expressar a região R de duas formas: como uma região horizontal simples e como uma vertical simples. Depois, a gente calcula a integral dupla integral duplaR x y^2 , dx , dy das duas maneiras. Para isso, vamos precisar entender como desenhar a região R e como configurar os limites de integração para cada caso. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites que definem a região R. As curvas são:
  • y = 1 (uma linha horizontal),
  • y = 2 (outra linha horizontal),
  • x = 0 (o eixo y),
  • y = x (uma linha reta passando pela origem com inclinação 45°).
Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar melhor a região.

Passo 3

Ao desenhar, vemos que a região R está entre y = 1 e y = 2, à direita do eixo x = 0 e abaixo da linha y = x. Os pontos de interseção entre y = x e y = 1 é quando x = 1, e com y = 2 é quando x = 2.

Passo 4

Agora, vamos expressar R como uma região horizontal simples. Isso significa que para cada valor de y entre 1 e 2, x varia de 0 até y. Logo, os limites de integração ficam:
1 <= y <= 2 e 0 <= x <= y

Passo 5

Em seguida, vamos expressar R como uma região vertical simples. Aqui, para cada valor de x, y varia de 1 até 2, mas precisamos considerar como x está limitado. Observando a região, x vai de 0 até 2, e para cada x, y vai de 1 até max(y, x) , ou seja, até 2 se x <= 2. Porém, para x entre 0 e 1, y vai de 1 até 2, e para x entre 1 e 2, y vai de x até 2.
Então, dividimos em duas partes:
  • Para 0 <= x <= 1: 1 <= y <= 2
  • Para 1 <= x <= 2: x <= y <= 2

Passo 6

Agora vamos calcular a integral dupla de duas maneiras. Primeiro, usando a região horizontal simples:
integral duplaR x y^2 , dx , dy = integraly=1^2 integralx=0^y x y^2 , dx , dy
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^y x y^2 , dx = y^2 [ x^22 ]0^y = y^2 ( y^22 - 0 ) = y^42
Agora, integramos em relação a y:
integral1^2 y^42 , dy = 12 [ y^55 ]1^2 = 12 ( 325 - 15 ) = 12 times 315 = 3110 = 3,1

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral usando a região vertical simples. Lembrando que dividimos a região em duas partes:
integral duplaR x y^2 , dx , dy = integralx=0^1 integraly=1^2 x y^2 , dy , dx + integralx=1^2 integraly=x^2 x y^2 , dy , dx
Primeiro, a integral de x=0 a x=1:
integral0^1 integral1^2 x y^2 , dy , dx = integral0^1 x [ y^33 ]1^2 , dx = integral0^1 x ( 83 - 13 ) , dx = integral0^1 x times 73 , dx = 73 [ x^22 ]0^1 = 73 times 12 = 76
Em seguida, a integral de x=1 a x=2:
integral1^2 integralx^2 x y^2 , dy , dx = integral1^2 x [ y^33 ]x^2 , dx = integral1^2 x ( 83 - x^33 ) , dx = integral1^2 ( 8x3 - x^43 ) , dx
Resolvendo essa integral:
83 [ x^22 ]1^2 - 13 [ x^55 ]1^2 = 83 ( 42 - 12 ) - 13 ( 325 - 15 ) = 83 times 32 - 13 times 315 = 4 - 3115 = 6015 - 3115 = 2915
Somando as duas partes:
76 + 2915 = 3530 + 5830 = 9330 = 3110 = 3,1

Resposta

A integral dupla integral duplaR x y^2 , dx , dy vale 3,1.

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