Expresse
como uma região horizontal simple e, também, como uma região vertical simple. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
é a região limitada pelas curvas
,
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para a gente expressar uma região
de duas maneiras diferentes e depois calcular uma integral dupla sobre essa região. O que isso significa? Basicamente,
é uma área no plano xy que é limitada pelas curvas
,
e
. Vamos precisar entender como desenhar essa região e depois configurar a integral dupla de duas formas: uma usando “fatias” horizontais e outra usando “fatias” verticais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria das regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos três limites:
-
: uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
: o eixo x. -
: uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (2,0).
Quando a gente desenha essas curvas, percebe que
é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).
Passo 3
Agora, vamos expressar
como uma região horizontal simples. Isso significa que vamos pensar em “fatiar” a região horizontalmente, ou seja, fixar um valor de y e encontrar os limites de x para esse y.
Para cada y entre 0 e 2, x varia desde a reta
até
. Mas precisamos resolver
para x: x = y.
Então, para cada y em [0, 2], x vai de y até 2.
Passo 4
Agora, expressamos
como uma região vertical simples. Isso significa que vamos “fatiar” a região verticalmente, fixando um valor de x e encontrando os limites de y para esse x.
Observando a região
, para cada x em [0, 2], y varia desde 0 até a reta
.
Então, para cada x em [0, 2], y vai de 0 até x.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral dupla de
sobre a região
de duas maneiras: primeiro usando a região horizontal simples e depois usando a região vertical simples.
Método 1: Região Horizontal Simples
A integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a x):
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a y:
Método 2: Região Vertical Simples
A integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a y):
Agora, integramos isso em relação a x:
Resposta
A integral dupla de
sobre a região
é igual a
quando calculada como uma região horizontal simples e igual a
quando calculada como uma região vertical simples.