Expresse R como uma região horizontal simple e, também, como uma região vertical simple. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
integral duplaR(1-x-y) d x d y, R é a região limitada pelas curvas y=x, y=0 e x=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para a gente expressar uma região R de duas maneiras diferentes e depois calcular uma integral dupla sobre essa região. O que isso significa? Basicamente, R é uma área no plano xy que é limitada pelas curvas y = x, y = 0 e x = 2. Vamos precisar entender como desenhar essa região e depois configurar a integral dupla de duas formas: uma usando “fatias” horizontais e outra usando “fatias” verticais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria das regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Temos três limites:
  • y = x: uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • y = 0: o eixo x.
  • x = 2: uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (2,0).
Quando a gente desenha essas curvas, percebe que R é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).

Passo 3

Agora, vamos expressar R como uma região horizontal simples. Isso significa que vamos pensar em “fatiar” a região horizontalmente, ou seja, fixar um valor de y e encontrar os limites de x para esse y.
Para cada y entre 0 e 2, x varia desde a reta y = x até x = 2. Mas precisamos resolver y = x para x: x = y.
Então, para cada y em [0, 2], x vai de y até 2.

Passo 4

Agora, expressamos R como uma região vertical simples. Isso significa que vamos “fatiar” a região verticalmente, fixando um valor de x e encontrando os limites de y para esse x.
Observando a região R, para cada x em [0, 2], y varia desde 0 até a reta y = x.
Então, para cada x em [0, 2], y vai de 0 até x.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral dupla de (1 - x - y) sobre a região R de duas maneiras: primeiro usando a região horizontal simples e depois usando a região vertical simples.

Método 1: Região Horizontal Simples

A integral fica:
integraly=0^2 integralx=y^2 (1 - x - y) , dx , dy
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a x):
integralx=y^2 (1 - x - y) , dx = [ (1 - y)x - x^22 ]x=y^2
Substituindo os limites:
[ (1 - y)(2) - (2)^22 ] - [ (1 - y)(y) - y^22 ] = (2 - 2y - 2) - (y - y^2 - y^22)
Simplificando:
-2y - y + y^22 = -3y + y^22
Agora, integramos isso em relação a y:
integral0^2 ( -3y + y^22 ) dy = [ -3y^22 + y^36 ]0^2 = ( -3 cdot 42 + 86 ) = (-6) + 43 = -143

Método 2: Região Vertical Simples

A integral fica:
integralx=0^2 integraly=0^x (1 - x - y) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a y):
integraly=0^x (1 - x - y) , dy = [ (1 - x)y - y^22 ]0^x = (1 - x)x - x^22 = x - x^2 - x^22 = x - 3x^22
Agora, integramos isso em relação a x:
integral0^2 ( x - 3x^22 ) dx = [ x^22 - 3x^36 ]0^2 = ( 42 - 246 ) = 2 - 4 = -2

Resposta

A integral dupla de (1 - x - y) sobre a região R é igual a -143 quando calculada como uma região horizontal simples e igual a -2 quando calculada como uma região vertical simples.

Exercícios relacionados