Resolva o problema de valor inicial.
d yd x+12 y & =12 e^x / 3 y(0) & =1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial pra resolver. A equação que a gente vai trabalhar é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Isso quer dizer que a gente vai precisar usar o método do fator integrante para encontrar a solução. Além disso, temos uma condição inicial que nos ajuda a achar a constante da solução. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
No nosso caso, temos:
P(x) = 12 e Q(x) = 12 e^x/3

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 12 :
mu(x) = e^integral 12 dx = e^12x

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^12x cdot dydx + e^12x cdot 12 y = e^12x cdot 12 e^x/3
Isso simplifica a equação para:
ddx ( e^12x cdot y ) = 12 e^12x + x3

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^12x cdot y ) dx = integral 12 e^56x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^12x cdot y . Para a integral do lado direito:
12 integral e^56x dx = 12 cdot 65 e^56x + C = 35 e^56x + C
Então, temos:
e^12x cdot y = 35 e^56x + C

Passo 6

Agora, vamos resolver para y :
y = e^-12x ( 35 e^56x + C )
Simplificando a expressão:
y = 35 e^56x - 12x + C e^-12x = 35 e^13x + C e^-12x

Passo 7

Finalmente, vamos usar a condição inicial y(0) = 1 para achar a constante C :
Substituindo x = 0 e y = 1 :
1 = 35 e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = 35 + C
Então:
C = 1 - 35 = 25

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = 35 e^x/3 + 25 e^-x/2

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