Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial pra resolver. A equação que a gente vai trabalhar é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Isso quer dizer que a gente vai precisar usar o método do fator integrante para encontrar a solução. Além disso, temos uma condição inicial que nos ajuda a achar a constante da solução. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Finalmente, vamos usar a condição inicial
para achar a constante
:
Substituindo
e
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: