Resolva a equação diferencial.
3 x^2 y+y^2 x+(x^3+x^2 y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver:
3 x^2 y + y^2 x + (x^3 + x^2 y) d yd x = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Isso porque a equação parece se encaixar nesse tipo, onde podemos encontrar uma função potencial que relaciona x e y . Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
M(x, y) + N(x, y) dydx = 0
Onde:
  • M(x, y) = 3x^2 y + x y^2
  • N(x, y) = x^3 + x^2 y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
partial Mpartial y = 3x^2 + 2xy
partial Npartial x = 3x^2 + 2xy
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = 3x^2 y + x y^2
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y) :
F(x, y) = integral (3x^2 y + x y^2) dx = y integral 3x^2 dx + y^2 integral x dx = x^3 y + 12 x^2 y^2 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Para determinar h(y) , vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y) :
partial Fpartial y = x^3 + x^2 y + h'(y) = N = x^3 + x^2 y
Isso implica que h'(y) = 0 , então h(y) é uma constante, que podemos chamar de C .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^3 y + 12 x^2 y^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados