Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Isso porque a equação parece se encaixar nesse tipo, onde podemos encontrar uma função potencial que relaciona
e
. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.