Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
Calcule os limites a seguir
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
Conteúdo da matéria: limites no infinito e indeterminações do tipo ∞−∞.
O que vamos precisar: reconhecer a indeterminação “∞−∞” e usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para eliminar essa indeterminação.
O que vamos precisar: reconhecer a indeterminação “∞−∞” e usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Observação do comportamento para
muito grande:
então parece que
.
Mas isso é uma forma indeterminada do tipo “∞−∞”, ou seja, não dá para afirmar diretamente que o limite é zero sem manipular a expressão.
Mas isso é uma forma indeterminada do tipo “∞−∞”, ou seja, não dá para afirmar diretamente que o limite é zero sem manipular a expressão.
Passo 3
Racionalização: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
. Assim:
Aqui usamos a identidade
.
Passo 4
Agora analisamos
Extraímos
de cada raiz:
Logo o denominador vira
Quando
, temos
e, por isso,
.
Então o denominador tende a , e a fração fica
Então o denominador tende a