Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim x +infty(raizx^2+1-raizx^2-1)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
L=limxto+inftyl(raizx^2+1-raizx^2-1r)
Conteúdo da matéria: limites no infinito e indeterminações do tipo ∞−∞.
O que vamos precisar: reconhecer a indeterminação “∞−∞” e usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Observação do comportamento para x muito grande:
raizx^2+1approx x, raizx^2-1approx x,
então parece que raizx^2+1-raizx^2-1approx x-x=0.
Mas isso é uma forma indeterminada do tipo “∞−∞”, ou seja, não dá para afirmar diretamente que o limite é zero sem manipular a expressão.

Passo 3

Racionalização: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx^2+1+raizx^2-1. Assim:
raizx^2+1-raizx^2-1 =l(raizx^2+1-raizx^2-1r),(raizx^2+1+raizx^2-1) raizx^2+1+raizx^2-1 =(x^2+1)-(x^2-1)raizx^2+1+raizx^2-1 =2raizx^2+1+raizx^2-1
Aqui usamos a identidade a^2-b^2=(a-b)(a+b).

Passo 4

Agora analisamos
2raizx^2+1+raizx^2-1
Extraímos x de cada raiz:
raizx^2+1=xraiz1+tfrac1x^2, raizx^2-1=xraiz1-tfrac1x^2
Logo o denominador vira
xl(raiz1+tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x^2r)
Quando xtoinfty, temos tfrac1x^2to0 e, por isso, raiz1pmtfrac1x^2to1.
Então o denominador tende a x(1+1)=2x, e a fração fica
22x=1x,longrightarrow,0

Resposta

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