1. Expresse a solução do problema de valor inicial y^prime-2 x y=1, y(1)=1 em termos de erf(x).

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' - 2x,y = 1, y(1)=1
por meio da função erro erf(x). Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que iremos resolver pelo método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^-integral 2x,dx = e^-x^2
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
(y,e^-x^2)' = e^-x^2
Integrando ambos os lados em x, vem
y,e^-x^2 = integral e^-x^2,dx + C

Passo 3

A integral de Gauss define-se via a função erro:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2,dt
Logo
integral e^-x^2,dx = raizpi2,erf(x) + widetilde C,
e a solução geral fica
y(x) = e^x^2l(tfracraizpi2,erf(x) + widetilde Cr)

Passo 4

Usamos y(1)=1:
1 = y(1) = e^1^2l(tfracraizpi2,erf(1) + widetilde Cr) = el(tfracraizpi2,erf(1) + widetilde Cr)
Dessa igualdade segue
tfracraizpi2,erf(1) + widetilde C = e^-1, widetilde C = e^-1 - tfracraizpi2,erf(1)
Substituindo em y(x) resulta
y(x) = e^x^2l(e^-1 + tfracraizpi2l(erf(x) - erf(1)r)r)

Resposta

y(x) = e^x^2l(e^-1 + raizpi2l(erf(x) - erf(1)r)r)

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