Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(d) 0,2,0,2,0,2 ldots
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(e) 1,9,25,49,81, ldots

Passo 1

O enunciado pede para, em cada sequência, encontrar uma fórmula que gere o termo geral an e, em seguida, dizer se a sequência é limitada e qual é seu comportamento de monotonia.

Passo 2

Para a sequência (d) 0,2,0,2,0,2,ldots, note que os termos se repetem alternando entre 0 e 2. Podemos usar a potência de -1 para capturar essa alternância. Uma boa opção é escrever
an ,=, 1 + (-1)^n
Pois para n=1 temos 1+(-1)=0, para n=2 temos 1+1=2, e assim por diante, reproduzindo a sequência.
A sequência de (d) satisfaz
0 <= an <= 2
logo é limitada (superiormente por 2 e inferiormente por 0). Como os termos não sobem nem descem de modo consistente, mas oscilam, ela não é monotônica.

Passo 3

Para a sequência (e) 1,9,25,49,81,ldots, observe que os valores são os quadrados dos números ímpares: 1=1², 9=3², 25=5² etc. O n-ésimo ímpar é 2n-1, então
an ,=, (2n-1)^2
A sequência de (e) cresce sem limite superior conforme n aumenta (fica cada vez maior), então é não limitada (ilimitada) e, como os termos só aumentam, é estritamente crescente.

Resposta

(d) an = 1 + (-1)^n; limitada e não monotônica.
(e) an = (2n-1)^2; ilimitada e estritamente crescente.

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