Expresse o vetor \boldsymbol{v} como a soma de um vetor paralelo a \boldsymbol{b} e um vetor ortogonal a \boldsymbol{b}.
\boldsymbol{v}=3 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k} \quad \boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{i}-\boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \boldsymbol{v}=3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}
e \boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{k}
e pede para escrever \boldsymbol{v} como soma de um vetor paralelo a \boldsymbol{b} e um vetor ortogonal a \boldsymbol{b}. Vamos usar o conceito de projeção de vetor sobre outro, que se baseia em produto escalar.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{b} e \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{b} =3\cdot2 + 1\cdot0 + (-2)\cdot(-1) =6 + 0 + 2 =8,
\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} =2^2 + 0^2 +(-1)^2 =4 + 0 + 1 =5.

Passo 3

O vetor paralelo a \boldsymbol{b} é a projeção de \boldsymbol{v} sobre \boldsymbol{b}:
\boldsymbol{v}_{\parallel} = \frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}}\,\boldsymbol{b} = \frac{8}{5}\,(2\boldsymbol{i} - \boldsymbol{k}) = \frac{16}{5}\,\boldsymbol{i} \;-\; \frac{8}{5}\,\boldsymbol{k}.

Passo 4

O vetor ortogonal a \boldsymbol{b} é
\boldsymbol{v}_{\perp} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{v}_{\parallel} = \bigl(3\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} - 2\boldsymbol{k}\bigr) - \Bigl(\frac{16}{5}\boldsymbol{i} - \frac{8}{5}\boldsymbol{k}\Bigr) = -\frac{1}{5}\,\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} - \frac{2}{5}\,\boldsymbol{k}.

Resposta

\boldsymbol{v} = \underbrace{\frac{16}{5}\boldsymbol{i} - \frac{8}{5}\boldsymbol{k}}_{\parallel\,\boldsymbol{b}} \;+\; \underbrace{\Bigl(-\frac{1}{5}\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} - \frac{2}{5}\boldsymbol{k}\Bigr)}_{\perp\,\boldsymbol{b}}.

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