Prove que, se uma reta a está num plano \alpha, perpendicular a uma reta b, então a reta b também está num plano perpendicular à reta a.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas a e b em espaço euclideano, com
  1. a\subset\alpha para um dado plano \alpha,
  2. a\perp b.
    Precisamos mostrar que existe um plano \beta tal que
  • b\subset\beta,
  • \beta é perpendicular à reta a.

Passo 2

Como a\perp b, as retas a e b se intersectam em um único ponto. Seja
P = a\cap b.
Como a\subset\alpha, concluímos que P\in\alpha.

Passo 3

Há um teorema de geometria no espaço que garante:
«Dado um plano \alpha e uma reta b que não é paralela a \alpha (isto é, cruza \alpha em P), existe um e somente um plano \beta que contém b e é perpendicular a \alpha
Assim podemos construir o plano \beta tal que
b\subset\beta \quad\text{e}\quad \beta \perp \alpha.

Passo 4

Definição de plano perpendicular a outro: \beta\perp\alpha significa que toda reta contida em \alpha e que encontra \beta é perpendicular a \beta. Como a\subset\alpha e a cruza \beta em P, concluímos a\perp\beta.
Isto é, \beta é um plano perpendicular à reta a, e por construção b\subset\beta.

Resposta

A reta b está contida no plano \beta que satisfaz \beta\perp a. Portanto, existe um plano perpendicular a a que contém b, como se queria demonstrar.

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