Prove que, se uma reta
está num plano
, perpendicular a uma reta
, então a reta
também está num plano perpendicular à reta
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas retas
e
em espaço euclideano, com
-
para um dado plano , -
.
Precisamos mostrar que existe um planotal que
-
, -
é perpendicular à reta .
Passo 2
Como
, as retas
e
se intersectam em um único ponto. Seja
Como
, concluímos que
.
Passo 3
Há um teorema de geometria no espaço que garante:
«Dado um plano e uma reta
que não é paralela a
(isto é, cruza
em
), existe um e somente um plano
que contém
e é perpendicular a
.»
Assim podemos construir o plano tal que
«Dado um plano
Assim podemos construir o plano
Passo 4
Definição de plano perpendicular a outro:
significa que toda reta contida em
e que encontra
é perpendicular a
. Como
e
cruza
em
, concluímos
Isto é, é um plano perpendicular à reta
, e por construção
.
Isto é,
Resposta
A reta
está contida no plano
que satisfaz
. Portanto, existe um plano perpendicular a
que contém
, como se queria demonstrar.