Prove que dois planos paralelos distintos determinam em retas paralelas distintas segmentos congruentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois planos paralelos e distintos \pi_1 e \pi_2 e duas retas paralelas l e m que intersectam cada um desses planos. Denotemos
A = l\cap\pi_1,\quad A' = l\cap\pi_2,\quad B = m\cap\pi_1,\quad B' = m\cap\pi_2.
Queremos mostrar que os segmentos \overline{AA'} e \overline{BB'} são congruentes.

Passo 2

Seja d a distância entre os planos \pi_1 e \pi_2; por serem paralelos e distintos, essa distância é bem definida e constante. Além disso, como l\parallel m, ambas formam o mesmo ângulo \varphi com qualquer plano paralelo a elas (em particular com \pi_1 e \pi_2).

Passo 3

Escolha um vetor unitário \mathbf n normal a \pi_1 (e a \pi_2). No triângulo formado pelos pontos A, A' e sua projeção ortogonal sobre \pi_1, o comprimento da projeção de \overline{AA'} ao longo de \mathbf n é exatamente a distância d. Se \theta é o ângulo entre a reta AA' e \mathbf n, então
AA'\,\bigl|\cos\theta\bigr| = d.
Como a reta faz ângulo \varphi com o plano, temos \theta = 90^\circ-\varphi, de onde \cos\theta = \sin\varphi. Logo
AA' = \frac{d}{|\cos\theta|} = \frac{d}{\sin\varphi}.

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para o segmento \overline{BB'}, pois m\parallel l e forma o mesmo ângulo \varphi com os planos. Portanto
BB' = \frac{d}{\sin\varphi} = AA',
o que mostra que \overline{AA'} e \overline{BB'} têm o mesmo comprimento.

Resposta

Os segmentos \overline{AA'} e \overline{BB'} são congruentes porque ambos valem \tfrac{d}{\sin\varphi}, onde d é a distância entre os planos e \varphi é o ângulo comum que as retas formam com esses planos.

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