Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=12, e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas cart esianas xyz

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado abaixo pelo plano z=½ e acima pela esfera x²+y²+z²=1. O conteúdo aqui é volume via integração tripla em coordenadas cartesianas; vamos integrar a função 1 sobre S encontrando os limites de z em função de (x,y) e a projeção D no plano xy.

Passo 2

Para um par (x,y) fixo, o z varia entre a face inferior z=½ e a face superior dada pela esfera z=√(1−x²−y²). Para que ½≤√(1−x²−y²) seja válido, elevamos ao quadrado e obtemos x²+y²≤1−¼, isto é x²+y²≤¾. Assim, a projeção D de S no plano xy é o disco de raio √3/2.

Passo 3

Vamos descrever D de forma iterada em coordenadas cartesianas: y varia de −√3/2 até √3/2. Para cada y fixo, x varia entre −√(¾−y²) e +√(¾−y²).

Passo 4

Com os limites de (x,y) e de z em mãos, montamos a integral tripla: primeiro integramos em z, depois em x e, por fim, em y.

Resposta

V=integraly=-raiz32^raiz32integralx=-raiztfrac34-y^2^raiztfrac34-y^2integralz=tfrac12^raiz1-x^2-y^2dz,dx,dy

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