Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty raiznn^2+1

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine se a série
sumn=1^infty raiznn^2+1
converge ou diverge usando o Teste da Comparação (direta) ou o Teste de Comparação no Limite. Para isso, vamos comparar com uma p-série do tipo sum 1/n^p, cuja convergência é conhecida: ela converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para todo n>=1 vale
n^2+1 >= n^2,
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0 <= raiznn^2+1 <= raiznn^2 = 1n^3/2
Sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^3/2
converge, pois 3/2>1.

Passo 3

Como raiznn^2+1 é não-negativa e está limitada acima por termos da série convergente sum 1/n^3/2, pelo Teste da Comparação Direta concluímos que
sumn=1^inftyraiznn^2+1
também converge.

Resposta

A série converge.

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