Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a coordenada do centroide da região que está acima do eixo e entre dois círculos e , onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre cálculo de centroides em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o centroide de uma região plana é dado pelas fórmulas:
Como a região é simétrica em relação ao eixo , a coordenada será zero. Então, vamos focar em encontrar .
Passo 3
Vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares, onde r = a e r = b e . As equações dos círculos ficam:
A região de interesse está acima do eixo , então o ângulo varia de a .
Passo 4
A área diferencial em coordenadas polares é y = integral0^pi integrala^b y , dAintegral0^pi integrala^b dA = integral0^pi integrala^b r sin theta cdot r , dr , dthetaintegral0^pi integrala^b r , dr , dtheta . Então, a integral para encontrar o centroide y = integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dthetapi (b^2 - a^2) / 2 fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, multiplicamos o numerador e o denominador por 2:
y = 2 integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dthetapi (b^2 - a^2)
Passo 6
Agora, observamos que a expressão obtida para 2pi(b^2 - a^2) integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dtheta corresponde à opção:
Resposta
A resposta correta é a letra (a):
2pi(b^2-a^2) integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dtheta