Qual das expressões baixo representa a coordenada y do centroide da região acima do eixo x entre os círculos x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2(a ?
(A) 2pi(b^2-a^2) integral0^pi integrala^b r^2 sen theta d r d theta
(b) 2pi(b^2-a^2) integral0^pi integrala^b r sen theta d r d theta
© 2pi(b^2-a^2) integral0^pi integrala^b r^2 cos theta d r d theta
(d) 2pi(b-a) integral0^2 pi integrala^b r^2 cos theta d r d theta
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a coordenada do centroide da região que está acima do eixo e entre dois círculos e , onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre cálculo de centroides em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o centroide x = integral x , dAintegral dA e y = integral y , dAintegral dA de uma região plana é dado pelas fórmulas:
Como a região é simétrica em relação ao eixo , a coordenada será zero. Então, vamos focar em encontrar .

Passo 3

Vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares, onde r = a e r = b e . As equações dos círculos ficam:
A região de interesse está acima do eixo , então o ângulo varia de a .

Passo 4

A área diferencial em coordenadas polares é y = integral0^pi integrala^b y , dAintegral0^pi integrala^b dA = integral0^pi integrala^b r sin theta cdot r , dr , dthetaintegral0^pi integrala^b r , dr , dtheta . Então, a integral para encontrar o centroide y = integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dthetapi (b^2 - a^2) / 2 fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, multiplicamos o numerador e o denominador por 2:
y = 2 integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dthetapi (b^2 - a^2)

Passo 6

Agora, observamos que a expressão obtida para 2pi(b^2 - a^2) integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dtheta corresponde à opção:

Resposta

A resposta correta é a letra (a):
2pi(b^2-a^2) integral0^pi integrala^b r^2 sin theta , dr , dtheta

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