Seja
a região a região triangular delimitada pelas retas
e
. Qual das integrais abaixo corresponde a
?
(A)
(b)
©
(d)
(e) NRA
(A)
(b)
©
(d)
(e) NRA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar qual das integrais dadas representa a integral dupla
, onde
é uma região triangular delimitada pelas retas
,
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, especificamente a determinação dos limites de integração para uma região triangular.
O que vamos precisar:
- Entender como a região
está delimitada pelas retas dadas. - Determinar os limites de integração para
e . - Comparar esses limites com as opções fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As retas que delimitam
são:
-
– uma reta que passa pela origem com inclinação 2. -
– uma reta vertical que corta o eixo no ponto . -
– o eixo .
Vamos desenhar essas retas para entender melhor a região triangular.
Passo 3
Interseções das retas:
- Onde
e se encontram: . Então, na origem . - Onde
e se encontram: Substituindo em , temos . - Onde
e se encontram: No ponto .
Então, os vértices do triângulo são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos escolher integrar em duas ordens: primeiro
depois
, ou primeiro
depois
. Vamos escolher uma para facilitar.
Integração em ordem
:
Para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
.
Então, a integral seria:
Passo 5
Agora, vamos comparar com as opções fornecidas:
(A)
(B)
©
(D)
Nossa integral derivada foi:
Passo 6
Comparando com as opções, vemos que nenhuma das integrais coincide exatamente com a nossa. A opção © tem os mesmos limites internos e externos, mas com
a
para
, o que está incorreto porque
vai de
a
.
A opção (A) e (B) trocam as ordens de integração, o que pode ser correto, mas precisamos verificar os limites:
- Na opção (A),
vai de a , e para cada , vai de a . Isso está correto porque, se rearranjarmos nossa região para essa ordem, de fato, para cada , começa em e vai até .
Passo 7
Portanto, a integral equivalente na opção (A) é correta.
Resposta
A opção correta é a letra (A):