Seja R a região a região triangular delimitada pelas retas y=2 x, x=pi e y=0. Qual das integrais abaixo corresponde a integral duplaR f(x, y) d A ?
(A) integral0^2 pi integraly / 2^pi f(x, y) d x d y
(b) integral0^pi integraly / 2^2 pi f(x, y) d x d y
© integral0^2 pi integral0^2 x f(x, y) d y d x
(d) integral0^pi integral2 x^pi f(x, y) d y d x
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar qual das integrais dadas representa a integral dupla , onde é uma região triangular delimitada pelas retas , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, especificamente a determinação dos limites de integração para uma região triangular.
O que vamos precisar:
  • Entender como a região está delimitada pelas retas dadas.
  • Determinar os limites de integração para e .
  • Comparar esses limites com as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As retas que delimitam são:
  1. – uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  2. – uma reta vertical que corta o eixo no ponto .
  3. – o eixo .
Vamos desenhar essas retas para entender melhor a região triangular.

Passo 3

Interseções das retas:
  • Onde e se encontram: . Então, na origem .
  • Onde e se encontram: Substituindo em , temos .
  • Onde e se encontram: No ponto .
Então, os vértices do triângulo são , e .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos escolher integrar em duas ordens: primeiro integral0^pi integral0^2x f(x, y) , dy , dx depois , ou primeiro depois . Vamos escolher uma para facilitar.
Integração em ordem :
Para cada valor de entre e , varia de até .
Então, a integral seria:

Passo 5

Agora, vamos comparar com as opções fornecidas:
(A)
(B)
©
(D)
Nossa integral derivada foi:

Passo 6

Comparando com as opções, vemos que nenhuma das integrais coincide exatamente com a nossa. A opção © tem os mesmos limites internos e externos, mas com a para , o que está incorreto porque vai de a .
A opção (A) e (B) trocam as ordens de integração, o que pode ser correto, mas precisamos verificar os limites:
  • Na opção (A), vai de a , e para cada , vai de a . Isso está correto porque, se rearranjarmos nossa região para essa ordem, de fato, para cada , começa em e vai até .

Passo 7

Portanto, a integral equivalente na opção (A) é correta.

Resposta

A opção correta é a letra (A):
integral0^2 pi integraly2^pi f(x, y) , dx , dy

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