Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é uma parte do primeiro quadrante delimitada por , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela está no primeiro quadrante, então e . As curvas que delimitam são:
: é o eixo .
: é uma reta que forma um ângulo de 45 graus com o eixo .
: é um círculo de raio 1 centrado na origem.
Isso significa que é um setor circular com raio 1 e ângulo de radianos.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular e isso simplifica a integral. Lembre-se que:
Além disso, a função que estamos integrando fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
varia de 0 a (do eixo até a reta ).
varia de 0 a 1 (raio do círculo).
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna com respeito a :
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Assim: