Qual o valor de integral duplaR 11+x^2+y^2 d A, onde R é o setor circular do primeiro quadrante delimitado por y=0, y=x e x^2+y^2=1 ?
(a) pi ln 2
(b) pi ln 22
© pi ln 24
(D) pi ln 28
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é uma parte do primeiro quadrante delimitada por , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está no primeiro quadrante, então e . As curvas que delimitam são:
  • : é o eixo .
  • : é uma reta que forma um ângulo de 45 graus com o eixo .
  • : é um círculo de raio 1 centrado na origem.
Isso significa que é um setor circular com raio 1 e ângulo de radianos.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular e isso simplifica a integral. Lembre-se que:
  • 11 + x^2 + y^2 = 11 + r^2
Além disso, a função que estamos integrando fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • integral0^pi4 integral0^1 11 + r^2 cdot r, dr, dtheta varia de 0 a (do eixo até a reta ).
  • varia de 0 a 1 (raio do círculo).
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna com respeito a integral0^1 r1 + r^2, dr :
12 integral1^2 1u, du = 12 ln(u) |1^2 = 12 ln(2)
Fazendo uma substituição integral0^pi4 dtheta = pi4 , temos pi4 cdot 12 ln(2) = pi ln 28 , ou seja, . Assim:
Agora, a integral externa com respeito a é:
Multiplicando as duas partes:

Resposta

(D)

Exercícios relacionados