Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 200000 e a população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a população de uma cidade está crescendo. A ideia é transformar essa informação em uma equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e entender como a taxa de variação da população depende da população atual e da diferença entre 200.000 e essa população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “a população aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 200.000 e a população”. Isso quer dizer que a velocidade com que a população está mudando ( ) depende diretamente de e de .

Passo 3

Quando dizemos que algo é proporcional a outra coisa, usamos uma constante de proporcionalidade. Vamos chamar essa constante de . Então, podemos escrever:

Passo 4

Para transformar a proporcionalidade em igualdade, multiplicamos pelo :

Passo 5

Essa é a forma da equação diferencial que representa o crescimento da população conforme o enunciado. Ela mostra que a taxa de crescimento depende do produto da população atual e da diferença entre 200.000 e a população.

Resposta

A equação diferencial que representa o crescimento da população é:

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