Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
A população
de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 200000 e a população.
A população
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a população
de uma cidade está crescendo. A ideia é transformar essa informação em uma equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e entender como a taxa de variação da população depende da população atual e da diferença entre 200.000 e essa população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “a população aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 200.000 e a população”. Isso quer dizer que a velocidade com que a população está mudando (
) depende diretamente de
e de
.
Passo 3
Quando dizemos que algo é proporcional a outra coisa, usamos uma constante de proporcionalidade. Vamos chamar essa constante de
. Então, podemos escrever:
Passo 4
Para transformar a proporcionalidade em igualdade, multiplicamos pelo
:
Passo 5
Essa é a forma da equação diferencial que representa o crescimento da população conforme o enunciado. Ela mostra que a taxa de crescimento depende do produto da população atual e da diferença entre 200.000 e a população.
Resposta
A equação diferencial que representa o crescimento da população é: