Exprima cada um dos números complexos na forma algébrica:
(-12+i raiz32)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar o número complexo (-12+i raiz32)^4 na forma algébrica. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, potência de números complexos e a forma algébrica. Vamos passo a passo para ficar bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a forma algébrica de um número complexo. A forma algébrica é escrita como a + b i, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Nosso objetivo é elevar o número complexo (-12+i raiz32) à quarta potência e expressar o resultado nessa forma.

Passo 3

Para elevar um número complexo a uma potência, podemos usar a fórmula de De Moivre, que é muito útil. A fórmula diz que (cos theta + i sin theta)^n = cos(ntheta) + i sin(ntheta). Mas para isso, precisamos primeiro converter nosso número complexo para a forma trigonométrica.

Passo 4

Vamos converter (-12+i raiz32) para a forma trigonométrica. Sabemos que um número complexo na forma algébrica a + b i pode ser escrito como r(cos theta + i sin theta), onde:
  • r = raiza^2 + b^2 (módulo)
  • theta = arctan(ba) (argumento)
Calculando o módulo:
r = raiz(-12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1
Calculando o argumento:
Como a = -12 e b = raiz32, o número está no segundo quadrante. O ângulo correspondente é 120^circ ou 2pi3 radianos.
Então, a forma trigonométrica é:
1 ( cos 2pi3 + i sin 2pi3 )

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar à quarta potência:
( cos 2pi3 + i sin 2pi3 )^4 = cos(4 times 2pi3) + i sin(4 times 2pi3)
= cos(8pi3) + i sin(8pi3)

Passo 6

Simplificamos o ângulo 8pi3. Sabemos que 2pi é um ciclo completo, então:
8pi3 = 2pi + 2pi3
Portanto:
cos(8pi3) = cos(2pi3) = -12
sin(8pi3) = sin(2pi3) = raiz32

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
cos(8pi3) + i sin(8pi3) = -12 + i raiz32

Resposta

Então, (-12+i raiz32)^4 na forma algébrica é -12 + i raiz32.

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