Exprima cada um dos números complexos na forma algébrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar o número complexo na forma algébrica. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, potência de números complexos e a forma algébrica. Vamos passo a passo para ficar bem tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a forma algébrica de um número complexo. A forma algébrica é escrita como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Nosso objetivo é elevar o número complexo à quarta potência e expressar o resultado nessa forma.
Passo 3
Para elevar um número complexo a uma potência, podemos usar a fórmula de De Moivre, que é muito útil. A fórmula diz que . Mas para isso, precisamos primeiro converter nosso número complexo para a forma trigonométrica.
Passo 4
Vamos converter para a forma trigonométrica. Sabemos que um número complexo na forma algébrica pode ser escrito como , onde:
(módulo)
(argumento)
Calculando o módulo:
Calculando o argumento:
Como a = -12 e b = raiz32, o número está no segundo quadrante. O ângulo correspondente é 120^circ ou 2pi3 radianos.
Então, a forma trigonométrica é:
1 ( cos 2pi3 + i sin 2pi3 )
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar à quarta potência:
( cos 2pi3 + i sin 2pi3 )^4 = cos(4 times 2pi3) + i sin(4 times 2pi3)
= cos(8pi3) + i sin(8pi3)
Passo 6
Simplificamos o ângulo 8pi3. Sabemos que 2pi é um ciclo completo, então:
8pi3 = 2pi + 2pi3
Portanto:
cos(8pi3) = cos(2pi3) = -12
sin(8pi3) = sin(2pi3) = raiz32
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
cos(8pi3) + i sin(8pi3) = -12 + i raiz32
Resposta
Então, (-12+i raiz32)^4 na forma algébrica é -12 + i raiz32.