Exprima os números complexos do exercício 1 na forma exponencial.
(\sqrt{2})^{45} e^{\frac{\pi}{4} i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número
(\sqrt{2})^{45}\,e^{\frac{\pi}{4}i}
na forma exponencial padrão z = r\,e^{i\theta}, identificando o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

Calculemos o módulo
r = (\sqrt{2})^{45} = 2^{\frac{45}{2}}.
Podemos também escrever
2^{\frac{45}{2}} = 2^{22+\frac12} = 2^{22}\cdot 2^{\frac12} = 2^{22}\,\sqrt{2} = 4194304\,\sqrt{2}.

Passo 3

O argumento já vem dado como
\theta = \frac{\pi}{4},
que está no intervalo [0,2\pi), logo é o argumento principal.

Passo 4

Reunindo módulo e argumento, a forma exponencial é
z = 2^{\frac{45}{2}}\,e^{i\frac{\pi}{4}}
ou, equivalentemente,
z = 4194304\,\sqrt{2}\;e^{i\frac{\pi}{4}}.

Resposta

2^{\frac{45}{2}}\,e^{i\frac{\pi}{4}} \quad\bigl(\text{ou }4194304\,\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\bigr).

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