Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto x=0.
(x^2+1) y^prime prime-8 x y+15 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
(x^2+1)y''-8x,y'+15y=0
como série de potências em torno de x=0.
Conteúdo: método de séries de potências em ponto regular.
Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar a recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Calculemos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1 =sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 =sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Também temos
x^2y''(x)=sumn=0^inftyn(n-1)anx^n, -8x,y'(x)=sumn=0^infty-8n,anx^n, 15y(x)=sumn=0^infty15anx^n

Passo 3

Somando todas as partes em potências de x^n e igualando a zero, obtemos para cada n>=0:
(n+2)(n+1)an+2+l[n(n-1)-8n+15r]an=0
Isto é,
an+2 =-n^2-9n+15(n+2)(n+1),an

Passo 4

Como a recorrência liga an+2 a an, existem duas soluções independentes: uma com a1=0 (série par) e outra com a0=0 (série ímpar).
  1. Série par ( a1=0, controle por a0):
    Defina ck=a2k/a0. A recorrência para ck é
    ck+1 =-(2k)^2-9(2k)+15(2k+2)(2k+1),ck, c0=1
    Calculando alguns termos:
    c1=-152,; c2=58,; c3=548,;dots
    Logo
    ypar(x) =1-152x^2+58x^4+548x^6+cdots
  2. Série ímpar ( a0=0, controle por a1):
    Defina dk=a2k+1/a1. A recorrência para dk é
    dk+1 =-(2k+1)^2-9(2k+1)+15(2k+3)(2k+2),dk, d0=1
    Calculando alguns termos:
    d1=-76,; d2=-740,; d3=-7336,;dots
    Logo
    yímpar(x) =x-76x^3-740x^5-7336x^7+cdots í

Passo 5

A solução geral é uma combinação linear das duas séries independentes:
y(x)=C1,ypar(x)+C2,yímpar(x), í
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) =C1l(1-tfrac152x^2+tfrac58x^4+tfrac548x^6+cdotsr) +C2l(x-tfrac76x^3-tfrac740x^5-tfrac7336x^7+cdotsr)

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