Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
como série de potências em torno de
.
Conteúdo: método de séries de potências em ponto regular.
Vamos assumir uma solução da forma
Conteúdo: método de séries de potências em ponto regular.
Vamos assumir uma solução da forma
e determinar a recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculemos as derivadas em série:
Também temos
Passo 3
Somando todas as partes em potências de
e igualando a zero, obtemos para cada
:
Isto é,
Passo 4
Como a recorrência liga
a
, existem duas soluções independentes: uma com
(série par) e outra com
(série ímpar).
-
Série par (
, controle por ):
Defina. A recorrência para é Calculando alguns termos:Logo -
Série ímpar (
, controle por ):
Defina. A recorrência para é Calculando alguns termos:Logo
Passo 5
A solução geral é uma combinação linear das duas séries independentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.