Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas
A resposta para a integral abaixo está correta? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a resposta dada para a integral está correta. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender técnicas de integração como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar resolver a integral por nós mesmos para ver se chegamos na mesma resposta que foi dada. A integral que temos é:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Agora, queremos expressar em termos de . Rearranjando a última equação:
Passo 5
Vamos substituir e na integral original:
Mas observamos que , o que nos leva a uma complicação no denominador. Então, essa substituição não simplifica como esperávamos. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos tentar uma substituição diferente. Definimos:
Então:
Substituindo na integral:
Novamente, ainda temos no denominador, o que não ajuda muito. Vamos tentar uma abordagem diferente usando derivadas.
Passo 7
Vamos verificar se a função dada na resposta é realmente uma antiderivada da função original. A resposta proposta é:
Vamos derivar essa função para ver se obtemos a função original dentro da integral.
Passo 8
Derivando :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então:
Resposta
Sim, a resposta está correta. A integral integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx é de fato igual a -raiz1+x^2x + C.