PRIMEIRA PROVA - P1

Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas

A resposta para a integral abaixo está correta? Justifique.
integral 1x^2 raiz1+x^2 d x=-raiz1+x^2x+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a resposta dada para a integral integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx está correta. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender técnicas de integração como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar resolver a integral por nós mesmos para ver se chegamos na mesma resposta que foi dada. A integral que temos é:
integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = raiz1 + x^2
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = xraiz1 + x^2 implies du = xraiz1 + x^2 , dx

Passo 4

Agora, queremos expressar dx em termos de du. Rearranjando a última equação:
dx = raiz1 + x^2x , du

Passo 5

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral 1x^2 cdot u cdot ux , du = integral 1x^3 , du
Mas observamos que u = raiz1 + x^2, o que nos leva a uma complicação no denominador. Então, essa substituição não simplifica como esperávamos. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos tentar uma substituição diferente. Definimos:
t = 1 + x^2
Então:
dt = 2x , dx implies dx = dt2x
Substituindo na integral:
integral 1x^2 raizt cdot dt2x = 12 integral 1x^3 raizt , dt
Novamente, ainda temos x no denominador, o que não ajuda muito. Vamos tentar uma abordagem diferente usando derivadas.

Passo 7

Vamos verificar se a função dada na resposta é realmente uma antiderivada da função original. A resposta proposta é:
-raiz1 + x^2x + C
Vamos derivar essa função para ver se obtemos a função original dentro da integral.

Passo 8

Derivando :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então:

Resposta

Sim, a resposta está correta. A integral integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx é de fato igual a -raiz1+x^2x + C.

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