Exresse as integrais abaixo como limite de somas de Riemann.
\int_{2}^{3} x^{2} dx

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral
\int_{2}^{3} x^{2}\,dx
como um limite de somas de Riemann. O conteúdo aqui é a definição de integral definida via partição do intervalo e soma de Riemann.

Passo 2

Vamos particionar o intervalo [2,3] em n subintervalos de mesma largura \Delta x. Assim,
\Delta x = \frac{3 - 2}{n} = \frac{1}{n}.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo, o ponto de amostragem como o extremo direito de cada subintervalo. Então o i-ésimo ponto é
x_i = 2 + i\,\Delta x = 2 + \frac{i}{n},
com i = 1,2,\dots,n.

Passo 4

A soma de Riemann correspondente é
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(x_i\Bigr)^{2}\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \tfrac{i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n}.

Passo 5

Pela definição de integral de Riemann, temos
\int_{2}^{3} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \tfrac{i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n}.

Resposta

\int_{2}^{3} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \tfrac{i}{n}\Bigr)^{2} \frac{1}{n}.

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